今日算法之_126_课程表
前言
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1、课程表1
你这个学期必须选修 numCourse 门课程，记为 0 到 numCourse-1 。
在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们：[0,1]
给定课程总量以及它们的先决条件，请你判断是否可能完成所有课程的学习？
提示：
输入的先决条件是由 边缘列表 表示的图形，而不是 邻接矩阵 。详情请参见图的表示法。
你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。
1 <= numCourses <= 10^5
示例 1:
输入: 2, [[1,0]]
输出: true
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0。所以这是可能的。
示例 2:
输入: 2, [[1,0],[0,1]]
输出: false
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1。这是不可能的。
1.1、解题思路
给定一个包含 nn 个节点的有向图 GG，我们给出它的节点编号的一种排列，如果满足：
对于图 GG 中的任意一条有向边 (u, v)，u 在排列中都出现在 v 的前面。
那么称该排列是图 GG 的「拓扑排序」。根据上述的定义，我们可以得出两个结论：
1、如果图 GG 中存在环（即图 GG 不是「有向无环图」），那么图 GG 不存在拓扑排序。这是因为假设图中存在环
2、如果图 GG 是有向无环图，那么它的拓扑排序可能不止一种。举一个最极端的例子，如果图 GG 值包含 nn 个节点却没有任何边，那么任意一种编号的排列都可以作为拓扑排序。
有了上述的简单分析，我们就可以将本题建模成一个求拓扑排序的问题了：
我们将每一门课看成一个节点；如果想要学习课程 A 之前必须完成课程 B，那么我们从 B 到 A 连接一条有向边。这样以来，在拓扑排序中，B 一定出现在 A 的前面。
1.2、算法：深度优先搜索
我们可以将深度优先搜索的流程与拓扑排序的求解联系起来，用一个栈来存储所有已经搜索完成的节点。
对于一个节点 u，如果它的所有相邻节点都已经搜索完成，那么在搜索回溯到 u 的时候，u 本身也会变成一个已经搜索完成的节点。这里的「相邻节点」指的是从 uu 出发通过一条有向边可以到达的所有节点。
假设我们当前搜索到了节点 u，如果它的所有相邻节点都已经搜索完成，那么这些节点都已经在栈中了，此时我们就可以把 u 入栈。可以发现，如果我们从栈顶往栈底的顺序看，由于 u 处于栈顶的位置，那么 u 出现在所有 u 的相邻节点的前面。因此对于 u 这个节点而言，它是满足拓扑排序的要求的。
这样以来，我们对图进行一遍深度优先搜索。当每个节点进行回溯的时候，我们把该节点放入栈中。最终从栈顶到栈底的序列就是一种拓扑排序。
算法
对于图中的任意一个节点，它在搜索的过程中有三种状态，即：
「未搜索」：我们还没有搜索到这个节点；
「搜索中」：我们搜索过这个节点，但还没有回溯到该节点，即该节点还没有入栈，还有相邻的节点没有搜索完成）；
「已完成」：我们搜索过并且回溯过这个节点，即该节点已经入栈，并且所有该节点的相邻节点都出现在栈的更底部的位置，满足拓扑排序的要求。
通过上述的三种状态，我们就可以给出使用深度优先搜索得到拓扑排序的算法流程，在每一轮的搜索搜索开始时，我们任取一个「未搜索」的节点开始进行深度优先搜索。
我们将当前搜索的节点 u 标记为「搜索中」，遍历该节点的每一个相邻节点 v：
如果 v 为「未搜索」，那么我们开始搜索 v，待搜索完成回溯到 u，进行ｕ的下一对。；
如果 v 为「搜索中」，那么我们就找到了图中的一个环，因此是不存在拓扑排序的；
如果 v 为「已完成」，那么说明 v 已经在栈中了，而 u 还不在栈中，因此 u 无论何时入栈都不会影响到 (u,v) 之前的拓扑关系，以及不用进行任何操作。
当 u 的所有相邻节点都为「已完成」时，我们将 u 放入栈中，并将其标记为「已完成」。
// 栈下标 (要完成后面的，必须先完成前面的)
public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
if (prerequisites.length == 0) {
return true;
}
List<List<Integer>> graph = new ArrayList<>();
//定义从节点出发的有向图
for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
graph.add(new ArrayList<>());
}
// 制作有向图
for (int[] line : prerequisites) {
graph.get(line[1]).add(line[0]);
}
// 0 未搜索，1 搜索中， 2 搜索完成
int[] visited = new int[numCourses];
for (int i = 0; i < graph.size(); i++) {
if (visited[i] == 0) {
boolean flag = dfs(i, graph, visited);
if (flag) {
return false;
}
}
}
return true;
}
public boolean dfs(int i, List<List<Integer>> graph, int[] visited) {
//进来就表示要搜索了
visited[i] = 1;
for (int j : graph.get(i)) {
if (visited[j] == 0) {
boolean flag = dfs(j, graph, visited);
if (flag) {
return true;
}
//如果是搜索中，则表示是闭环的
} else if (visited[j] == 1) {
return true;
}
}
visited[i] = 2;
return false;
}
1.3、测试
@Test
public void test(){
int numCourses = 2 ;
// int[][] prerequisites = { {2,1},{1,0} };
// int[][] prerequisites = { {1,0},{2,0} };
int[][] prerequisites = { {0,1} };
// int[][] prerequisites = { {1,0},{0,1} };
// int[][] prerequisites = { {} };
// int[][] prerequisites = { {1,0},{2,1} };
// int[][] prerequisites = { {1, 0}, {2, 0}, {3, 1}, {3, 2} };
System.out.println((canFinish(numCourses, prerequisites)));
}
2、课程表2
现在你总共有 n 门课需要选，记为 0 到 n-1。
在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们: [0,1]
给定课程总量以及它们的先决条件，返回你为了学完所有课程所安排的学习顺序。
可能会有多个正确的顺序，你只要返回一种就可以了。如果不可能完成所有课程，返回一个空数组。
示例 1:
输入: 2, [[1,0]]
输出: [0,1]
解释: 总共有 2 门课程。要学习课程 1，你需要先完成课程 0。因此，正确的课程顺序为 [0,1] 。
示例 2:
输入: 4, [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
输出: [0,1,2,3] or [0,2,1,3]
解释: 总共有 4 门课程。要学习课程 3，你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。
因此，一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3] 。
说明:
输入的先决条件是由边缘列表表示的图形，而不是邻接矩阵。详情请参见图的表示法。
你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。
提示:
这个问题相当于查找一个循环是否存在于有向图中。如果存在循环，则不存在拓扑排序，因此不可能选取所有课程进行学习。
通过 DFS 进行拓扑排序 - 一个关于Coursera的精彩视频教程（21分钟），介绍拓扑排序的基本概念。
拓扑排序也可以通过 BFS 完成。
2.1、解题思路
同上
2.2、算法
// 栈下标 (要完成后面的，必须先完成前面的)
int index;
public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) {
// 1、 存储有向图，每个点出发都是一个List，一共可能会有 numCourses个出发的点
List<List<Integer>> graph = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
graph.add(new ArrayList<>());
}
// 2、 课程是从0到n-1的，也就是说。完成有向图初步工作
// 要完成
for (int[] line : prerequisites) {
int after = line[1];
List<Integer> list = graph.get(after);
int first = line[0];
list.add(first);
}
// 3、标记每个节点的状态：0=未搜索，1=搜索中，2=已完成
int[] visited = new int[numCourses];
// 4、用数组来模拟栈（拓扑排序好的数组），下标 n-1 为栈底，0 为栈顶, 每次挑选一个「未搜索」的节点，开始进行深度优先搜索
int[] result = new int[numCourses];
//n-1 为栈底 ，从栈底开始放入
index = numCourses - 1;
for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
//如果未搜索的话才搜索
if (visited[i] == 0) {
boolean flag = dfs(i, graph, visited, result);
if (flag) {
return new int[0];
}
}
}
// 如果没有环，那么就有拓扑排序
return result;
}
/**
* 深度优先搜索
*/
public boolean dfs(int i, List<List<Integer>> graph, int[] visited, int[] result) {
// 一搜索，将节点标记为「搜索中」
visited[i] = 1;
// 搜索其相邻节点 ，只要发现有环，立刻停止搜索
for (int j : graph.get(i)) {
// 如果「未搜索」那么搜索相邻节点
if (visited[j] == 0) {
boolean flag = dfs(j, graph, visited, result);
if (flag) {
return true;
}
// 如果「搜索中」说明找到了环
} else if (visited[j] == 1) {
return true;
}
}
// 先搜索完成的,肯定在有向图的末尾节点，也就是最后阅读
result[index--] = i;
// 将节点标记为「已完成」
visited[i] = 2;
return false;
}
2.3、测试
@Test
public void test(){
int numCourses = 2 ;
// int[][] prerequisites = { {2,1},{1,0} };
// int[][] prerequisites = { {1,0},{2,0} };
int[][] prerequisites = { {0,1} };
// int[][] prerequisites = { {1,0},{0,1} };
// int[][] prerequisites = { {} };
// int[][] prerequisites = { {1,0},{2,1} };
// int[][] prerequisites = { {1, 0}, {2, 0}, {3, 1}, {3, 2} };
System.out.println((findOrder(numCourses, prerequisites)));
}
