前言

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1、减绳子

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

1.1、解题思路

动态规划，有些像找零钱和戳气球

1.2、算法

public int cuttingRope(int n) {
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        //从1开始减绳子，不会超过 i
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            //如果只减1次
            dp[i] = Math.max(dp[i], j * (i - j));
            //如果减多次
            dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - j] * j);

        }
    }
    return dp[n];
}

1.3、测试

@Test
public void test() {
    System.out.println(cuttingRope(10));
}

1、减绳子(取模)

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m - 1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

提示：2 <= n <= 1000

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

1.1、解题思路

动态规划，有些像找零钱和戳气球

1.2、算法

1.2.1、算法1_动态规划（不可用）

动态规划，可能会导致一些未知的数据出现（因为结果是乘积试出来的），比如 有数据明明超过了 1000000007 ，但是提前取模之后的结果可能没有 1000000007 大*/

//如果只减1次
dp[i] = Math.max(dp[i], j * (i - j));
//如果减多次
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - j] * j);

1.2.2、算法1_贪心算法

贪心思想：

设一绳子长度为 n ( n>1 )，则其必可被切分为两段 n=n1+n2 ，根据经验推测，切分的两数字乘积往往原数字更大，即 n1 * n2 > n1 + n2

正例：比如长度为6：6 = 3 + 3 < 3 * 3 = 9，

反例：但是也有少数反例（数字极小，一般和1有关，比如2和3），2 = 1 + 1 > 1 * 2 ，3 = 1 + 2 > 1 * 2

如果切分方案合理的话，绳子切分越多，则乘积越大，也就是说当切分到某个分界点长度的时候，乘积达到最大就不要再切分了

这个分界点很明显就是上面反例中的3。

public int cuttingRope(int n) {
    if (n <= 3) {
        return n - 1;
    }
    long res = 1;
    while (n > 4) {
        n -= 3;
        res *= 3;
        res = res % 1000000007;
    }

    //上面 n 一直减去3，肯定会有剩余部分，剩余部分就是n，所以res要继续乘下去
    return (int) (res * n % 1000000007);
}

1.3、测试

@Test
public void test() {
    System.out.println(Integer.MAX_VALUE);
}

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