前言

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1、课程表1

你这个学期必须选修 numCourse 门课程,记为 0 到 numCourse-1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如,想要学习课程 0 ,你需要先完成课程 1 ,我们用一个匹配来表示他们:[0,1]

给定课程总量以及它们的先决条件,请你判断是否可能完成所有课程的学习?

提示:

输入的先决条件是由 边缘列表 表示的图形,而不是 邻接矩阵 。详情请参见图的表示法。

你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。

1 <= numCourses <= 10^5

示例 1:

输入: 2, [[1,0]] 
输出: true
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前,你需要完成课程 0。所以这是可能的。

示例 2:

输入: 2, [[1,0],[0,1]]
输出: false
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前,你需要先完成课程 0;并且学习课程 0 之前,你还应先完成课程 1。这是不可能的。

1.1、解题思路

给定一个包含 nn 个节点的有向图 GG,我们给出它的节点编号的一种排列,如果满足:

对于图 GG 中的任意一条有向边 (u, v),u 在排列中都出现在 v 的前面。

那么称该排列是图 GG 的「拓扑排序」。根据上述的定义,我们可以得出两个结论:

  1、如果图 GG 中存在环(即图 GG 不是「有向无环图」),那么图 GG 不存在拓扑排序。这是因为假设图中存在环

  2、如果图 GG 是有向无环图,那么它的拓扑排序可能不止一种。举一个最极端的例子,如果图 GG 值包含 nn 个节点却没有任何边,那么任意一种编号的排列都可以作为拓扑排序。

有了上述的简单分析,我们就可以将本题建模成一个求拓扑排序的问题了:

  我们将每一门课看成一个节点;如果想要学习课程 A 之前必须完成课程 B,那么我们从 B 到 A 连接一条有向边。这样以来,在拓扑排序中,B 一定出现在 A 的前面。

1.2、算法:深度优先搜索

我们可以将深度优先搜索的流程与拓扑排序的求解联系起来,用一个栈来存储所有已经搜索完成的节点。

对于一个节点 u,如果它的所有相邻节点都已经搜索完成,那么在搜索回溯到 u 的时候,u 本身也会变成一个已经搜索完成的节点。这里的「相邻节点」指的是从 uu 出发通过一条有向边可以到达的所有节点。

假设我们当前搜索到了节点 u,如果它的所有相邻节点都已经搜索完成,那么这些节点都已经在栈中了,此时我们就可以把 u 入栈。可以发现,如果我们从栈顶往栈底的顺序看,由于 u 处于栈顶的位置,那么 u 出现在所有 u 的相邻节点的前面。因此对于 u 这个节点而言,它是满足拓扑排序的要求的。

这样以来,我们对图进行一遍深度优先搜索。当每个节点进行回溯的时候,我们把该节点放入栈中。最终从栈顶到栈底的序列就是一种拓扑排序。

算法

对于图中的任意一个节点,它在搜索的过程中有三种状态,即:

「未搜索」:我们还没有搜索到这个节点;

  「搜索中」:我们搜索过这个节点,但还没有回溯到该节点,即该节点还没有入栈,还有相邻的节点没有搜索完成);

  「已完成」:我们搜索过并且回溯过这个节点,即该节点已经入栈,并且所有该节点的相邻节点都出现在栈的更底部的位置,满足拓扑排序的要求。

通过上述的三种状态,我们就可以给出使用深度优先搜索得到拓扑排序的算法流程,在每一轮的搜索搜索开始时,我们任取一个「未搜索」的节点开始进行深度优先搜索。    

我们将当前搜索的节点 u 标记为「搜索中」,遍历该节点的每一个相邻节点 v:

  如果 v 为「未搜索」,那么我们开始搜索 v,待搜索完成回溯到 u,进行u的下一对。;

  如果 v 为「搜索中」,那么我们就找到了图中的一个环,因此是不存在拓扑排序的;

  如果 v 为「已完成」,那么说明 v 已经在栈中了,而 u 还不在栈中,因此 u 无论何时入栈都不会影响到 (u,v) 之前的拓扑关系,以及不用进行任何操作。

当 u 的所有相邻节点都为「已完成」时,我们将 u 放入栈中,并将其标记为「已完成」。


// 栈下标 (要完成后面的,必须先完成前面的)
public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
    if (prerequisites.length == 0) {
        return true;
    }

    List<List<Integer>> graph = new ArrayList<>();
    //定义从节点出发的有向图
    for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
        graph.add(new ArrayList<>());
    }
    // 制作有向图
    for (int[] line : prerequisites) {
        graph.get(line[1]).add(line[0]);
    }

    // 0 未搜索,1 搜索中, 2 搜索完成
    int[] visited = new int[numCourses];
    for (int i = 0; i < graph.size(); i++) {
        if (visited[i] == 0) {
            boolean flag = dfs(i, graph, visited);
            if (flag) {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

public boolean dfs(int i, List<List<Integer>> graph, int[] visited) {
    //进来就表示要搜索了
    visited[i] = 1;
    for (int j : graph.get(i)) {
        if (visited[j] == 0) {
            boolean flag = dfs(j, graph, visited);
            if (flag) {
                return true;
            }
            //如果是搜索中,则表示是闭环的
        } else if (visited[j] == 1) {
            return true;
        }
    }
    visited[i] = 2;
    return false;
}

1.3、测试

   @Test
    public void test(){
        int numCourses = 2 ;
        // int[][] prerequisites = { {2,1},{1,0} };
        // int[][] prerequisites = { {1,0},{2,0} };
        int[][] prerequisites = { {0,1} };
        // int[][] prerequisites = { {1,0},{0,1} };
        // int[][] prerequisites = { {} };
        // int[][] prerequisites = { {1,0},{2,1} };
        // int[][] prerequisites = { {1, 0}, {2, 0}, {3, 1}, {3, 2} };
        System.out.println((canFinish(numCourses, prerequisites)));
    }

2、课程表2

现在你总共有 n 门课需要选,记为 0 到 n-1。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如,想要学习课程 0 ,你需要先完成课程 1 ,我们用一个匹配来表示他们: [0,1]

给定课程总量以及它们的先决条件,返回你为了学完所有课程所安排的学习顺序。

可能会有多个正确的顺序,你只要返回一种就可以了。如果不可能完成所有课程,返回一个空数组。

示例 1:

输入: 2, [[1,0]] 
输出: [0,1]
解释: 总共有 2 门课程。要学习课程 1,你需要先完成课程 0。因此,正确的课程顺序为 [0,1] 。

示例 2:

输入: 4, [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
输出: [0,1,2,3] or [0,2,1,3]
解释: 总共有 4 门课程。要学习课程 3,你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。
     因此,一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3] 。

说明:

输入的先决条件是由边缘列表表示的图形,而不是邻接矩阵。详情请参见图的表示法。

你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。

提示:

这个问题相当于查找一个循环是否存在于有向图中。如果存在循环,则不存在拓扑排序,因此不可能选取所有课程进行学习。

通过 DFS 进行拓扑排序 - 一个关于Coursera的精彩视频教程(21分钟),介绍拓扑排序的基本概念。

拓扑排序也可以通过 BFS 完成。

2.1、解题思路

同上

2.2、算法


// 栈下标 (要完成后面的,必须先完成前面的)
int index;
public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) {
    // 1、 存储有向图,每个点出发都是一个List,一共可能会有 numCourses个出发的点
    List<List<Integer>>   graph = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
        graph.add(new ArrayList<>());
    }

    // 2、 课程是从0到n-1的,也就是说。完成有向图初步工作
    // 要完成
    for (int[] line : prerequisites) {
        int  after = line[1];
        List<Integer> list = graph.get(after);

        int first = line[0];
        list.add(first);
    }


    // 3、标记每个节点的状态:0=未搜索,1=搜索中,2=已完成
    int[] visited  = new int[numCourses];
    // 4、用数组来模拟栈(拓扑排序好的数组),下标 n-1 为栈底,0 为栈顶, 每次挑选一个「未搜索」的节点,开始进行深度优先搜索
    int[] result  = new int[numCourses];
    //n-1 为栈底 ,从栈底开始放入
    index = numCourses - 1;
    for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
        //如果未搜索的话才搜索
        if (visited[i] == 0) {
            boolean flag =  dfs(i, graph, visited, result);
            if (flag) {
                return new int[0];
            }
        }
    }

    // 如果没有环,那么就有拓扑排序
    return result;
}

/**
     * 深度优先搜索
     */
public boolean dfs(int i, List<List<Integer>> graph, int[] visited, int[] result) {
    // 一搜索,将节点标记为「搜索中」
    visited[i] = 1;

    // 搜索其相邻节点 ,只要发现有环,立刻停止搜索
    for (int j : graph.get(i)) {
        // 如果「未搜索」那么搜索相邻节点
        if (visited[j] == 0) {
            boolean flag = dfs(j, graph, visited, result);
            if (flag) {
                return true;
            }
            // 如果「搜索中」说明找到了环
        } else if (visited[j] == 1) {
            return true;
        }
    }

    // 先搜索完成的,肯定在有向图的末尾节点,也就是最后阅读
    result[index--] = i;

    // 将节点标记为「已完成」
    visited[i] = 2;
    return false;
}

2.3、测试

   @Test
    public void test(){
        int numCourses = 2 ;
        // int[][] prerequisites = { {2,1},{1,0} };
        // int[][] prerequisites = { {1,0},{2,0} };
        int[][] prerequisites = { {0,1} };
        // int[][] prerequisites = { {1,0},{0,1} };
        // int[][] prerequisites = { {} };
        // int[][] prerequisites = { {1,0},{2,1} };
        // int[][] prerequisites = { {1, 0}, {2, 0}, {3, 1}, {3, 2} };
        System.out.println((findOrder(numCourses, prerequisites)));
    }

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