今日算法之_119_减绳子(取模)
前言
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1、减绳子
给你一根长度为 n 的绳子,请把绳子剪成整数长度的 m 段(m、n都是整数,n>1并且m>1),每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少?例如,当绳子的长度是8时,我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段,此时得到的最大乘积是18。
示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
1.1、解题思路
动态规划,有些像找零钱和戳气球
1.2、算法
public int cuttingRope(int n) {
int[] dp = new int[n + 1];
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
//从1开始减绳子,不会超过 i
for (int j = 1; j < i; j++) {
//如果只减1次
dp[i] = Math.max(dp[i], j * (i - j));
//如果减多次
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - j] * j);
}
}
return dp[n];
}
1.3、测试
@Test
public void test() {
System.out.println(cuttingRope(10));
}
1、减绳子(取模)
给你一根长度为 n 的绳子,请把绳子剪成整数长度的 m 段(m、n都是整数,n>1并且m>1),每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m - 1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少?例如,当绳子的长度是8时,我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段,此时得到的最大乘积是18。
答案需要取模 1e9+7(1000000007),如计算初始结果为:1000000008,请返回 1。
提示:2 <= n <= 1000
示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
1.1、解题思路
动态规划,有些像找零钱和戳气球
1.2、算法
1.2.1、算法1_动态规划(不可用)
动态规划,可能会导致一些未知的数据出现(因为结果是乘积试出来的),比如 有数据明明超过了 1000000007 ,但是提前取模之后的结果可能没有 1000000007 大*/
//如果只减1次
dp[i] = Math.max(dp[i], j * (i - j));
//如果减多次
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - j] * j);
1.2.2、算法1_贪心算法
贪心思想:
设一绳子长度为 n ( n>1 )
,则其必可被切分为两段 n=n1+n2
,根据经验推测,切分的两数字乘积往往原数字更大,即 n1 * n2 > n1 + n2
正例:比如长度为6:6 = 3 + 3 < 3 * 3 = 9
,
反例:但是也有少数反例(数字极小,一般和1有关,比如2和3),2 = 1 + 1 > 1 * 2
,3 = 1 + 2 > 1 * 2
如果切分方案合理的话,绳子切分越多,则乘积越大,也就是说当切分到某个分界点长度的时候,乘积达到最大就不要再切分了
这个分界点很明显就是上面反例中的3。
绳子切分方案 | 乘积 | 结论 |
---|---|---|
2=1+1 | 1×1=1 | 2 不应切分 |
3=1+2 | 1×2=2 | 3 不应切分 |
4=2+2=1+3 | 2×2=4>1×3=3 | 4 和 22 等价,且 2+22+2 比 1+31+3 更优 |
5=2+3=1+4 | 2×3=6>1×4=4 | 5 应切分为 2+32+3 |
6=3+3=2+2+2 | 3×3=9>2×2×2=8 | 6 应切分为 3+33+3 ,进而推出 33 比 22 更优 |
>7 | ** 长绳(长度>7)可转化为多个短绳**(长度1~6),因此肯定应切分 | |
public int cuttingRope(int n) {
if (n <= 3) {
return n - 1;
}
long res = 1;
while (n > 4) {
n -= 3;
res *= 3;
res = res % 1000000007;
}
//上面 n 一直减去3,肯定会有剩余部分,剩余部分就是n,所以res要继续乘下去
return (int) (res * n % 1000000007);
}
1.3、测试
@Test
public void test() {
System.out.println(Integer.MAX_VALUE);
}